td proba AEP

Cette fiche de TD reprend les 4 expériences introduites en Cours dans les 4 premiers exos. A la fois, les 2 approches des probabilités y sont présentées

A.M.P. pour montrer comment on peut proposer des calculs de probabilités
A.E.P. pour illustrer expérimentatlement les résultats obtenus par l'A.M.P.

Le dernier exo complète les 4 premiers exos en proposant pour chacun d'eux la propriété-clé de l'A.E.P. à savoir représenter graphiquement

(presque) tous les résultats expérimentaux $\widehat\Omega_{Y^\bullet} := \left(y^\bullet_{[1]},\cdots,y^\bullet_{[m]}, \cdots \right)$
Les moyenne et écart-type de la variable d'intérêt $Y^\bullet$

Les 4 premiers exos sont à traiter en 1h15-1h20 (quitte à passer des questions dans les exos 7, 8 et 9)
Garder impérativement 10-15 minutes pour traiter le dernier exo.

Un conseil d'un parcours (possiblement) idéal est de faire dans l'ordre:

le premier exo complètement
parcourir les 3 exos suivants pour rappeler les variables d'intérêt $Y^\bullet$ en insistant sur la nature des variables et en répondant aux toutes premières questions
faire le dernier exo qui permet d'interpréter graphiquement via l'A.E.P. tous les résultats expérimentaux $\widehat\Omega_{Y^\bullet}$
finaliser dans le temps restant les $2^{ème}$, $3^{ème}$ et $4^{ème}$ exos en insistant sur l'approche A.M.P. puisque c'est le seul endroit du cours où elle y est développée sur un plan culturel uniquement car aucune question relative à un calcul via l'A.M.P. ne sera demandée dans une évaluation.

Exercice 6 : Lancer d'un dé

(1) Proposer le Schéma de Formalisation pour la variable aléatoire correspondant à un futur lancer de dé.

Expérience $\mathcal{E}$ : Lancer un dé
Variable d'intérêt : $Y$ la face supérieure du dé
Loi de proba : $\mathbb{P}\left( Y=k \right)=1/6$ avec $k=1,\cdots,6$ (si le dé est équilibré).

(2) Quelle expérimentation mettriez-vous en oeuvre pour vérifier qu'un dé est rigoureusement non pipé (i.e. parfaitement équilibré) ?

On doit lancer le dé un nombre $m$ de fois avec

$m=6$

$m=1000$

$m=1$

$m=+\infty$

$m=36$

$m=1000000000$
Pensez-vous qu'il existe un tel type de dé ?

Il n'existe pas en théorie de dés non-pipés/équilibrés.

Les dés vendus en magasin sont quasiment non pipés ce qui permet de jouer comme si c'était un dé non pipé.

Il existe en effet des dés non pipés puisqu'on peut les acheter en magasin.

(3) Application: Un expérimentateur propose l'expérience suivante avec un dé (en théorie vendu) équilibré et un autre dont il a volontairement légèrement déséquilibré une ou plusieurs de ses faces. Les résultats des deux dés sont fournis dans un ordre arbitraire dans les tableaux ci-dessous. Sauriez-vous reconnaître les deux dés et, en particulier, déterminer les probabilités d'apparition des faces (sachant que, pour chaque dé, il n'y a en théorie pas plus de 2 choix possibles pour celles-ci) ? A partir de combien de lancers ($m$) êtes-vous en mesure de faire votre choix ?

$m$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=1}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=2}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=3}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=4}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=5}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=6}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}}\right)}_{ m}$
100	$21\%$	$14\%$	$15\%$	$22\%$	$16\%$	$12\%$	$3.34$
1000	$15.5\%$	$16.8\%$	$17.3\%$	$17.1\%$	$15.9\%$	$17.4\%$	$3.533$
10000	$16.46\%$	$16.43\%$	$16.45\%$	$17.23\%$	$16.46\%$	$16.97\%$	$3.5171$
100000	$16.4\%$	$16.52\%$	$16.28\%$	$17.05\%$	$16.83\%$	$16.92\%$	$3.5214$
1000000	$16.47\%$	$16.52\%$	$16.49\%$	$16.85\%$	$16.77\%$	$16.89\%$	$3.5161$

$m$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=1}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=2}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=3}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=4}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=5}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=6}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}}\right)}_{ m}$
100	$13\%$	$13\%$	$16\%$	$21\%$	$23\%$	$14\%$	$3.7$
1000	$16.1\%$	$18.1\%$	$15.6\%$	$17.3\%$	$18.6\%$	$14.3\%$	$3.471$
10000	$16.92\%$	$17\%$	$16.47\%$	$16.91\%$	$17.13\%$	$15.57\%$	$3.4704$
100000	$16.73\%$	$16.64\%$	$16.53\%$	$16.59\%$	$16.88\%$	$16.63\%$	$3.5015$
1000000	$16.68\%$	$16.66\%$	$16.68\%$	$16.67\%$	$16.71\%$	$16.61\%$	$3.499$

les 3 premières faces sont moins probables que les 3 dernières pour le dé pipé

les 3 premières faces sont plus probables que les 3 dernières pour le dé pipé

toutes les faces impaires sont plus probables que toutes les faces paires pour le dé pipé

le tableau du bas correspond au dé non pipé

toutes les faces impaires sont moins probables que toutes les faces paires pour le dé pipé

le tableau du haut correspond au dé non pipé

le tableau du bas correspond au dé pipé

le tableau du haut correspond au dé pipé

(4) Pour comprendre comment ont été déterminés les résultats des tableaux précédents, proposer les instructions R permettant d'obtenir (avec yy désignant les 100 premiers lancers du dé équilibré):

Proportion de face 1 :
Résultat
Proportion de face 2 :
Résultat
Proportion des faces 2 ou 3 :
Résultat
Moyenne des faces :
Résultat
Proportion des faces entre 2 et 5 inclus :
Résultat
Proportion des faces entre 2 et 5 exclus :
Résultat

(5) Ayant à présent identifié (du moins nous l'espérons!) le dé équilibré, sauriez vous compléter le tableau suivant correspondant à l'éventuelle dernière ligne du tableau précédent lui correspondant :

$m$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=1}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=2}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=3}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=4}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=5}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}=6}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}}\right)}_{ m}$
$\infty$	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	3.5

Comment noteriez-vous ces quantités via l'A.M.P. ?

$\mathbb{E}\left( Y=k \right)$ ($k=1,\cdots,6$) et $\mathbb{P}\left( Y \right)$

$\mathbb{P}\left( Y=k \right)$ ($k=1,\cdots,6$) et $\mathbb{E}\left( Y \right)$

On ne sait pas les noter

(6) Considérons le dé (théoriquement) équilibré. Observons les expressions dans le tableau ci-dessous obtenues par le mathématicien (A.M.P.). Sauriez-vous les calculer (N.B. : c'est une question personnelle et il est donc possible de répondre NON) ? On rappelle (pour votre culture) les formules d'obtentions de la moyenne (ou espérance) de $Y$ : $$ \mathbb{E}\left( Y \right)=\sum_{k=1}^6 k\times\mathbb{P}\left( Y=k \right) $$ ainsi que celle de la variance $$ \mathbb{V}ar\left( Y \right)=\sum_{k=1}^6 (k-\mathbb{E}\left( Y \right))^2\times\mathbb{P}\left( Y=k \right)=\mathbb{E}\left( Y^2 \right)-\mathbb{E}\left( Y \right)^2=\sum_{k=1}^6 k^2\times\mathbb{P}\left( Y=k \right)-\mathbb{E}\left( Y \right)^2 $$

$\mathbb{P}\left( Y\in [2,4[ \right)$	$\mathbb{E}\left( Y \right)$	$\mathbb{V}ar\left( Y \right)$	$\sigma({Y})$	$q_{ 5\%}\left( { Y} \right)$	$q_{ 50\%}\left( { Y} \right)$	$q_{ 95\%}\left( { Y} \right)$
$33.33\%$	$3.5$	$2.9167$	$1.7078$	$1$	$3.5$	$6$

Remarque (pour les amateurs) : Puisque $\mathbb{P}\left( Y=k \right)=\frac16$, les valeurs du tableau pour $\mathbb{E}\left( Y \right)$, $\mathbb{V}ar\left( Y \right)$ et $q_{ p}\left( { Y} \right)$ ($p=5\%$, $50\%$ et $95\%$ ) ont simplement été obtenues en appliquant les formules de Statistique Descriptive pour la série de chiffres $1,2,3,4,5,6$.
(7) Comprenons comment ces quantités peuvent être obtenues (ou intreprétées) par l'expérimentateur en les confrontant à ses résultats sur $m=1000000$ lancers (A.E.P.). Proposez aussi les instructions R ayant permis de les construire sachant que ces résultats ont été stockés dans le vecteur yy en R.

$\overline{\left({ y_{[\cdot]}\in [2,4[}\right)}_{ m}$	$\overline{\left({ y_{[\cdot]}}\right)}_{ m}$	$ {\overleftrightarrow{\left({ y_{[\cdot]}}\right)}_{ m}}^2$	${\overleftrightarrow{\left({ y_{[\cdot]}}\right)}_{ m}}$	$q_{ 5\%}\left( \left( y_{[\cdot]} \right)_{ m} \right)$	$q_{ 50\%}\left( \left( y_{[\cdot]} \right)_{ m} \right)$	$q_{ 95\%}\left( \left( y_{[\cdot]} \right)_{ m} \right)$
$33.34\%$	$3.499$	$2.9145$	$1.7072$	$1$	$3$	$6$

(8) Quelle approche (A.M.P. ou A.E.P.) vous semble être la plus facile à appréhender ? Comprenez-vous les intérêts propres à chacune d'entre elles ?

l'A.E.P. nécessite des techniques mathématiques uniquement étudiés à partir d'un niveau Master 1 dans des formations mathématiques.

l'A.E.P. ne s'appuie que sur les outils de statistique descriptive vu en L1.

l'A.M.P. ne peut être appliquée que quand nous disposons des techniques mathématiques nécessaires pour obtenir un résultat.

l'A.E.P. est applicable dès lors que l'on sait aidé de l'ordinateur réaliser l'expérience d'intérêt

l'A.M.P. est uniquement adaptée à des étudiants ayant des facilités avec les techniques mathématques.

L'A.E.P., se fondant sur une étude (de statistique) descriptive des résultats expérimentaux, interprète les résultats obtenus par l'A.M.P. basée sur des techniques calculatoires.

Exercice 7 : Moyenne de deux dés

(1) Soient $Y_V$ et $Y_R$ deux variables aléatoires correspondant aux faces de 2 dés (Vert et Rouge) à lancer. Définissons $\overline Y=(Y_V+Y_R)/2$ correspondant à la moyenne, ici la demi-somme de deux faces. Proposez le Schéma de Formalisation pour $\overline Y$.

Expérience $\mathcal{E}$ : Lancer de 2 dés
Variable d'intérêt : $\overline Y$ la moyenne des faces supérieures des 2 dés
Loi de proba : $\mathbb{P}\left( \overline Y=s/2 \right)=???$ avec $s=2,\cdots,12$.

(2) Comparez $\mathbb{P}\left( \overline Y=1 \right)$, $\mathbb{P}\left( \overline Y=6 \right)$ et $\mathbb{P}\left( \overline Y=3.5 \right)$. Sauriez-vous les évaluer ?

Une erreur courante est de penser que toutes modalités sont équiprobables. Pourtant, il est assez intuitif de penser le contraire car il y a 6 possibilités (1 et 6, 2 et 5, 3 et 4, 4 et 3, 5 et 2, 6 et 1) pour obtenir la moyenne 3.5 et seulement une pour obtenir soit 1 soit 6. On est alors à même de penser que le résultat 3.5 est 6 fois plus probable que 1 ou 6. Comme il y a 36 ($6\times6$) possibilités différentes pour les résultats des 2 dés (en tenant compte de leur couleur). On peut affirmer que : $\mathbb{P}\left( \overline Y=1 \right)=\mathbb{P}\left( \overline Y=6 \right)=\frac1{36}$ et $\mathbb{P}\left( \overline Y=3.5 \right)=\frac6{36}=\frac16$ Pour les évaluations des probas, voir le calcul ci-après proposé par le mathématicien.

(3) Que peut-on espérer en moyenne sur la valeur de $M$ ? (cette quantité rappelons-le est notée $\mathbb{E}\left( \overline Y \right)$).

On peut espèrer la valeur $(1+2+3+4+5+6)/6=(7× 3)/6=7/2=3.5$).

(4) Un joueur se propose de lancer $m=5000$ fois deux dés. A chaque lancer, il note la moyenne et stocke l'ensemble des informations dans un vecteur noté ym en R. Voici quelques résultats d'instructions R :

R> ym
   [1] 4.0 4.0 4.0 4.5 2.5 2.0 2.0 2.0 1.5 3.0 3.5 1.0 1.5 5.0 3.0 1.0 3.0 4.5
  [19] 1.0 4.5 6.0 3.5 5.0 6.0 1.5 2.5 4.5 3.0 3.0 3.5 3.5 3.0 3.5 4.0 4.5 4.0
...
[4969] 3.0 5.0 4.5 4.5 4.5 5.5 3.5 3.5 5.0 3.0 3.0 6.0 2.0 4.5 3.5 4.5 5.0 1.0
[4987] 4.0 4.5 3.5 3.5 3.5 2.0 4.0 3.5 6.0 4.0 5.0 5.5 3.0 4.5
R> mean(ym==1)
[1] 0.0314
R> mean(ym==3.5)
[1] 0.1698
R> mean(ym==6)
[1] 0.0278
R> mean(ym)
[1] 3.5031
R> var(ym)
[1] 1.468134
R> sd(ym)
[1] 1.211666

Pourriez-vous proposer les notations mathématiques (norme CQLS) correspondant aux résultats obtenus dans la sortie R ci-dessus ? Cette approche expérimentale confirme-t-elle le résultat du mathématicien affirmant que pour toute modalité $s/2$ de $\overline Y$ avec $s=2,\cdots,12$ (les modalités de la somme $S=2× \overline Y$ des 2 dés), $$ \mathbb{P}\left( \overline Y=s/2 \right)= \mathbb{P}\left( 2× \overline Y=s \right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{s-1}{36} & \text{ si } s\leq 7 \\ \frac{13-s}{36} & \text{ si } s \geq 7 \end{array} \right. $$ Voici les résultats de l'A.M.P. présentés dans le tableau suivant (que vous pouvez vérifier si vous avez l'âme d'un mathématicien) :

$\mathbb{P}\left( \overline Y=1 \right)$	$\mathbb{P}\left( \overline Y=3.5 \right)$	$\mathbb{P}\left( \overline Y=6 \right)$	$\mathbb{E}\left( \overline Y \right)$	$\mathbb{V}ar\left( \overline Y \right)$
$2.78\%$	$16.67\%$	$2.78\%$	$3.5$	$1.4583$

Les premières instructions proposent les évaluations de $\overline{\left({ {\overline y}_{[\cdot]}=s/2}\right)}_{ 5000}$ pour $s=2,12,7$. On retrouve le résultat $$ \overline{\left({ {\overline y}_{[\cdot]}=s/2}\right)}_{ 5000} \simeq \overline{\left({ {\overline y}_{[\cdot]}=s/2}\right)}_{ +\infty} = \mathbb{P}\left( \overline Y=s/2 \right). $$

(5) Pourriez-vous aussi vérifier la validité des formules sur l'espérance et variance de la moyenne de variables aléatoires réelles en s'appuyant sur les résultats de l'A.M.P. fournis ci-après.

Résumé A.M.P.

Soit $λ$ un réel et $Y_1$ et $Y_2$ deux variables indépendantes,

Espérance (ou Moyenne)$: \mathbb{E}\left( Y_1+Y_2 \right)=\mathbb{E}\left( Y_1 \right)+\mathbb{E}\left( Y_2 \right)$ et $\mathbb{E}\left( λ Y \right)=λ \mathbb{E}\left( Y \right)$
Variance$: \mathbb{V}ar\left( Y_1+Y_2 \right)=\mathbb{V}ar\left( Y_1 \right)+\mathbb{V}ar\left( Y_2 \right)$ et $\mathbb{V}ar\left( λ Y \right)=λ^2 \mathbb{V}ar\left( Y \right)$

\begin{eqnarray*} \mathbb{E}\left( \overline Y \right)&=&\mathbb{E}\left( (Y_1+Y_2)/2 \right)=\mathbb{E}\left( Y_1+Y_2 \right)/2 \\ &=&(\mathbb{E}\left( Y_1 \right)+\mathbb{E}\left( Y_2 \right))/2=7/2=3.5 \\ &\simeq& \mathtt{mean(ym)=3.5031}\\ &et& \\ \mathbb{V}ar\left( \overline Y \right)&=&\mathbb{V}ar\left( (Y_1+Y_2)/2 \right)=\mathbb{V}ar\left( Y_1+Y_2 \right)/4 \\ &=&(\mathbb{V}ar\left( Y_1 \right)+\mathbb{V}ar\left( Y_2 \right))/4=1.458333 \\ &\simeq& \mathtt{var(ym)=1.468134} \end{eqnarray*}
puisque les 2 dés sont naturellement indépendants entre eux.

Exercice 8 : Réel au hasard sur l'intervalle unité

(1) Soit $Y_1$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0,1]$ (en langage math., $Y_1\leadsto \mathcal{U}([0,1])$), correspondant au choix ``au hasard'' d'un réel dans l'intervalle $[0,1]$. L'objectif est l'évaluation (exacte ou approximative) des probabilités suivantes $\mathbb{P}\left( Y_1=0.5 \right)$ et $\mathbb{P}\left( 0.25 < Y_1 < 0.5 \right)$, le chiffre moyen $\mathbb{E}\left( Y_1 \right)$ (espéré), l'écart-type $\sigma(Y_1)$ ainsi que la variance $\mathbb{V}ar\left( Y_1 \right)$ ? Parmi ces quantités, lequelles sauriez-vous intuitivement (i.e. sans calcul) déterminer ?

Intuitivement, il est possible de dire que $\mathbb{P}\left( Y_1=0.5 \right)=0$, $\mathbb{P}\left( 0.25 < Y_1 < 0.5 \right)=25\%$ et $\mathbb{E}\left( Y_1 \right)=1/2$.

(2) Via A.E.P. : Un expérimentateur réalise cette expérience en choisissant 10000 réels au hasard (par exemple en tapant 10000 fois sur la touche RAND d'une calculatrice). Il stocke les informations dans son logiciel préféré (libre et gratuit) R dans un vecteur noté y1. Déterminez approximativement les quantités de la première question.

R> y1
    [1] 0.6739665526 0.7397576035 0.7916111494 0.6937727907 0.6256426109
    [6] 0.4411222513 0.8918520729 0.4331923584 0.4213763773 0.6879929998
...
 [9991] 0.3117644335 0.1422109089 0.4964213229 0.6349032705 0.3718051254
 [9996] 0.2839202243 0.7170524562 0.7066086838 0.9236146978 0.7250815830
R> mean(y1)
[1] 0.4940455
R> mean(y1==0.5)
[1] 0
R> mean(0.25 <y1 & y1<0.5)
[1] 0.254
R> var(y1)
[1] 0.08296901
R> sd(y1)
[1] 0.2880434
R> sd(y1)^2
[1] 0.08296901

On observe $\overline{\left({ 0.25 < y_{1,[\cdot]} < 0.5}\right)}_{ 1000} =0.254\simeq\overline{\left({ 0.25 < y_{1,[\cdot]} < 0.5}\right)}_{ \infty}=\mathbb{P}\left( 0.25 < Y_1 < 0.5 \right)=0.5-0.25=0.25$
et
$\overline{\left({ y_{1,[\cdot]}}\right)}_{ 1000} =0.4940455\simeq\overline{\left({ y_{1,[\cdot]}}\right)}_{ \infty} =\mathbb{E}\left( Y_1 \right)=0.5$.

(3) Via A.M.P. : Un mathématicien obtient par le calcul les résultats suivant pour une variable aléatoire $Y$ représentant un chiffre au hasard dans l'intervalle $[a,b]$ (i.e. $Y\leadsto\mathcal{U}([a,b])$) :

pour tout $a\leq t_1 \leq t_2\leq b$, $\mathbb{P}\left( t_1\leq Y \leq t_2 \right)=\frac{t_2-t_1}{b-a}$.
$\mathbb{E}\left( Y \right)=\frac{a+b}2$
$\mathbb{V}ar\left( Y \right)=\frac{(b-a)^2}{12}$

(4) Question optionnelle : lesquels de ces résultats vous semblent intuitifs (i.e. déterminables sans calcul) ? Déterminez exactement les quantités de la première question.

R> 1/12
[1] 0.08333333
R> sqrt(1/12)
[1] 0.2886751

Ce résultat correspond au calcul de $\left({\overleftrightarrow{\left({ y_{1,[\cdot]}}\right)}_{ 1000}}\right)^2 =0.08296901 \simeq \left({\overleftrightarrow{\left({ y_{1,[\cdot]}}\right)}_{ \infty}} \right)^2=\mathbb{V}ar\left( Y_1 \right)=1/12\simeq 0.0833$.

(5) L'A.E.P. confirme-t'elle les résultats théoriques de l'A.M.P. ?

Exercice 9 : Moyenne de deux réels au hasard dans l'intervalle unité

(1) On se propose maintenant d'étudier la variable $\overline Y=(Y_1+Y_2)/2$ où $Y_1$ et $Y_2$ sont deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur $[0,1]$. Quel est l'ensemble des valeurs possibles (ou modalités) de $\overline Y$ ? Pensez-vous que la variable $\overline Y$ suive une loi uniforme ? Nous nous proposons d'évaluer (excatement ou approximativement) les probabilités $\mathbb{P}\left( 0< \overline Y \leq \frac14 \right)$, $\mathbb{P}\left( \frac38< \overline Y \leq \frac58 \right)$, $\mathbb{P}\left( \frac34< \overline Y \leq 1 \right)$, la moyenne $\mathbb{E}\left( \overline Y \right)$, l'écart-type $\sigma(\overline Y)$ et la variance $\mathbb{V}ar\left( \overline Y \right)$. Lesquelles parmi ces quantités sont déterminables intuitivement ou via un simple calcul mental ? Etes-vous capable de comparer les trois probabilités précédentes ?

Sans développement mathématique trop compliqué, on peut affirmer que

$\mathbb{E}\left( \overline Y \right)=(\mathbb{E}\left( Y1 \right)+\mathbb{E}\left( Y2 \right))/2=0.5$,
$\mathbb{V}ar\left( \overline Y \right)=(\mathbb{V}ar\left( Y1 \right)+\mathbb{V}ar\left( Y2 \right))/4=2\frac1{12}/4=\frac1{24}$,
$\sigma(\overline Y)=\sqrt{\mathbb{V}ar\left( \overline Y \right)}=\frac1{\sqrt{24}}=\frac1{2\sqrt{6}}$,
$\mathbb{P}\left( 0< \overline Y \leq \frac14 \right)$ et $\mathbb{P}\left( \frac38< \overline Y \leq 1 \right)$ sont les mêmes tandis que $\mathbb{P}\left( \frac38< \overline Y \leq \frac58 \right)$ est la plus grande des probabilités d'appartenance de $\overline Y$ à un intervalle de longueur $\frac14$.

(2) Via A.E.P. : Un expérimentateur réalise à nouveau l'expérience de choisir 10000 réels entre 0 et 1. Les informations sont stockées dans le vecteur y2. Déterminez approximativement les quantités de la premire question.

R> y2
    [1] 7.050965e-01 7.167117e-01 8.085787e-01 5.334738e-01 1.126156e-01
...
 [9996] 8.175774e-01 5.379471e-01 4.259207e-01 7.629429e-01 9.217997e-01
R> ym<-(y1+y2)/2
R> mean(0<ym & ym <=1/4)
[1] 0.1361
R> mean(3/8<ym & ym<=5/8)
[1] 0.4262
R> mean(3/4<ym & ym<=1)
[1] 0.1244
R> mean(ym)
[1] 0.4953725
R> var(ym)
[1] 0.04274204
R> sd(ym)
[1] 0.2067415
R> 1/sqrt(24)
[1] 0.2041241
R> 7/16
[1] 0.4375

On observe

$\mathbb{P}\left( 0 < \overline Y \leq \frac14 \right)=\overline{\left({ 0 < {\overline y}_{[\cdot]} < \frac14}\right)}_{ \infty} \simeq \overline{\left({ 0 < {\overline y}_{[\cdot]} \leq \frac14}\right)}_{ 1000} \overset{\mathtt{R}}{=}$ mean(0 < ym \& ym <= 1/4) = 0.1361
$\mathbb{P}\left( \frac38 < \overline Y \leq \frac58 \right)=\overline{\left({ \frac38 < {\overline y}_{[\cdot]} < \frac58}\right)}_{ \infty}\simeq\overline{\left({ \frac38 < {\overline y}_{[\cdot]} \leq \frac58}\right)}_{ 1000}\overset{\mathtt{R}}{=}$ mean(3/8 < ym \& ym <= 5/8) = 0.4262
$\mathbb{P}\left( \frac34 < \overline Y \leq 1 \right)=\overline{\left({ \frac34 < {\overline y}_{[\cdot]} < 1}\right)}_{ \infty}\simeq\overline{\left({ \frac34 < {\overline y}_{[\cdot]} \leq 1}\right)}_{ 1000}\overset{\mathtt{R}}{=}$ mean(3/4 < ym \& ym <= 1)=0.1244
$\mathbb{E}\left( \overline Y \right)=\overline{\left({ {\overline y}_{[\cdot]}}\right)}_{ \infty}\simeq\overline{\left({ {\overline y}_{[\cdot]}}\right)}_{ 1000}\overset{\mathtt{R}}{=}$mean(ym)=0.4953725 $\simeq 0.5=\mathbb{E}\left( \overline Y \right)$.
$\sigma(\overline Y)={\overleftrightarrow{\left({ {\overline y}_{[\cdot]}}\right)}_{ \infty}}\simeq{\overleftrightarrow{\left({ {\overline y}_{[\cdot]}}\right)}_{ 1000}}\overset{\mathtt{R}}{=}$sd(ym)=0.2067415 $\simeq \sqrt{\mathbb{V}ar\left( \overline Y \right)}=\frac1{\sqrt24}\simeq0.2041241$.

(3) Via l'A.M.P. : Par des développements plutôt avancés, le mathématicien obtient pour tout réel $t$ : $$ \mathbb{P}\left( \overline Y\leq t \right)=\mathbb{P}\left( S:=2\times \overline Y\leq 2×t \right)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{ si } t\leq 0 \\ 2t^2 & \text{ si } 0\leq t\leq 1/2 \\ 4t-1-2t^2& \text{ si } 1/2 \leq t \leq 1 \\ 1 & \text{ si } t\geq 1 \end{array} \right.. $$ Etes-vous en mesure de déterminer les valeurs exactes de la première question ?

$\mathbb{P}\left( 0 < \overline Y \leq \frac14 \right)= \mathbb{P}\left( \overline Y \leq \frac14 \right)= 2(\frac14)^2 = \frac18$
$\mathbb{P}\left( \frac34 < \overline Y \leq 1 \right) = \mathbb{P}\left( \overline Y \leq 1 \right) - \mathbb{P}\left( \overline Y \leq \frac34 \right)=1 - \frac78= \frac18$
$\mathbb{P}\left( \frac38 < \overline Y \leq \frac58 \right) = \mathbb{P}\left( \overline Y \leq \frac58 \right) - \mathbb{P}\left( \overline Y \leq \frac38 \right) = \frac{80-32-25}{32} -\frac9{32}=\frac{7}{16}.$

(4) L'A.E.P. confirme-t'elle les résultats théoriques de l'A.M.P. ?

Exercice 10 : Représentation graphique A.E.P.

Comme souligné en Cours, le principal pouvoir de l'A.E.P. est de proposer un décodeur visuel de l'A.M.P. Voilà les représentations graphiques A.E.P. pour $m=100$ et $m=1000000$ pour les mêmes expériences que les exercices précédents.

Lancer d'une dé:
Moyenne de 2 lancers de dés:
Réel au hasard entre 0 et 1:
Moyenne de 2 réels au hasard entre 0 et 1:

(1) Pour tous les graphiques avec $m=1000$:

La définition de l'écran permet de voir distinctement toutes les $[m]-$briques.

Les $[m]-$briques sont de surface $1/m$.

Un $[m]-$histogramme est une sorte de représentation triée des résultats expérimentaux $\widehat{\Omega}_{Y^\bullet,m}=\left(y^\bullet_{[\cdot]}\right)_{m}$

Tous les résultats expérimentaux $\widehat{\Omega}_{Y^\bullet,m}:=\left(y^\bullet_{[1]},\cdots,y^\bullet_{[m]}\right)$ sont visibles sur le $[m]-$histogramme.

Les $[m]-$briques sont des points ou des "crêpes" selon la nature discrète ou continue de $Y$.

Les $[m]-$briques sont de surface $0$.

Chaque $[m]-$brique représente un résultat expérimental.

La définition de l'écran ne permet pas de voir distinctement toutes les $[m]-$briques mais on peut les deviner.

(2) Pour tous les graphiques avec $m=1000000$:

Les $[m]-$briques sont de surface $0$.

La définition de l'écran permet de voir distinctement toutes les $[m]-$briques.

Les $[m]-$briques sont de surface $1/m$.

Tous les résultats expérimentaux $\widehat{\Omega}_{Y^\bullet,m}:=\left(y^\bullet_{[1]},\cdots,y^\bullet_{[m]}\right)$ sont visibles sur le $[m]-$histogramme.

Chaque $[m]-$brique représente un résultat expérimental.

La définition de l'écran ne permet pas de voir distinctement toutes les $[m]-$briques mais on peut les deviner.

Un $[m]-$histogramme est une sorte de représentation triée des résultats expérimentaux $\widehat{\Omega}_{Y^\bullet,m}=\left(y^\bullet_{[\cdot]}\right)_{m}$

Les $[m]-$briques sont des points ou des "crêpes" selon la nature discrète ou continue de $Y$.

(3) Pour tous les graphiques avec $m=\infty$:

Les $[m]-$briques sont de surface $0$.

Les $[m]-$briques sont des points ou des "crêpes" selon la nature discrète ou continue de $Y$.

Un $[\infty]-$histogramme est une sorte de représentation triée des résultats expérimentaux $\widehat{\Omega}_{Y^\bullet,\infty}=\left(y^\bullet_{[\cdot]}\right)_{\infty}$

Chaque $[\infty]-$brique représente un résultat expérimental.

Les $[m]-$briques sont de surface $1/m$.

La définition de l'écran ne permet pas de voir distinctement toutes les $[\infty]-$briques mais on peut les deviner.

La définition de l'écran permet de voir distinctement toutes les $[\infty]-$briques.

Tous les résultats expérimentaux $\widehat{\Omega}_{Y^\bullet,\infty}:=\left(y^\bullet_{[1]},\cdots,y^\bullet_{[m]},\cdots\right)$ sont représentés sur le $[\infty]-$histogramme.

(4) Représentations graphiques pour $m=\infty$

La barre verticale rouge représentent l'écart-type des résultats expérimentaux ou de la variable d'intérêt.

Les représentations graphiques correspondant à $m=1000000$ sont les objets en rouge.

Les représentations graphiques correspondant à $m=\infty$ sont les objets en rouge.

La courbe pointillé correspond au contour supérieur de l'$[\infty]-$histogramme, à savoir le $[\infty]-$mur des $[\infty]-$briques associées à tous les résultats expérimentaux $\widehat{\Omega}_{Y^\bullet,\infty}$.

La barre verticale rouge correspond à la moyenne (espérance dans l'A.M.P.) de la variable d'intérêt $Y^\bullet$.

La barre horizontale rouge avec des flêches aux extrémités représentent l'écart-type des résultats expérimentaux ou de la variable d'intérêt.

La barre horizontale rouge avec des flêches aux extrémités correspond à la moyenne (espérance dans l'A.M.P.) de la variable d'intérêt $Y^\bullet$.

La courbe pointillé correspond au contour supérieur de l'$[m]-$histogramme, à savoir le $[m]-$mur des $[m]-$briques avec $m=1000000$.

Exercice 6 : Lancer d'un dé

Exercice 7 : Moyenne de deux dés

Résumé A.M.P.

Exercice 8 : Réel au hasard sur l'intervalle unité

Exercice 9 : Moyenne de deux réels au hasard dans l'intervalle unité

Exercice 10 : Représentation graphique A.E.P.

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