Dyndoc Session

Exercice 23 : Compétence

Un service de contrôle d'une entreprise de métallurgie s'intéresse à savoir si un technicien est suffisamment précis au niveau des mesures quotidiennes qu'il effectue sur des minerais de fer (les mesures effectuées sont des mesures de diamètre). Une compétence "suffisante" que nous allons définir) sera récompensée par une prime. Le technicien sera d'autant plus précis que l'écart entre deux mesures d'un même minerai (sans qu'il le sache) est faible. Fort de constater que l'écart moyen est théoriquement nul (à justifier), la précision sera naturellement mesurée par la variance des écarts. Soit $Y^C$ un futur écart entre deux mesures d'un même minerai. C'est une variable aléatoire qui est caractérisée (via l'approche expérimentale) par la donnée d'une infinité d'écarts virtuels (entre deux mesures) $y^C_{[1]},\ldots,y^C_{[m]},\ldots$. On notera $\sigma^2_C$ la variance de l'infinité de ces écarts de mesure qui constitue l'indicateur du niveau de précision du technicien. Cet indicateur constitue le paramètre d'intérêt de l'étude. Le service de contrôle décide que le technicien est compétent (et pourra ainsi lui verser une prime) si le paramètre d'intérêt est inférieur à $0.1$.

(1) Au vu des données peut-on montrer que le technicien est compétent avec un risque d'erreur de première espèce fixé à $5\%$.

R> yC
 [1]  0.3452  0.3619  0.2833 -0.0427  0.0790 -0.5758 -0.7199  0.1819  0.0444
[10] -0.0195 -0.3482  0.2607 -0.2111 -0.2889 -0.1782  0.0806  0.5698  0.2164
...
[28] -0.1786 -0.4814 -0.0719
R> var(yC)
[1] 0.0884346
R> # deltaEst.H0 <- (instruction R à fournir dans la rédaction)
R> deltaEst.H0
[1] -0.547535
R> pnorm(deltaEst.H0)
[1] 0.2920056

Option (préférée) correction AVEC p-valeur :

Hypothèses de test : $\mathbf{H}_0:$ $\sigma^2_{C}=0.1$ vs $\mathbf{H}_1:$ $\sigma^2_{C}<0.1$
Statistique de test sous $\mathbf{H}_0$ : \[ \widehat{ \delta_{\sigma^2_{C},0.1} }\left({\mathbf{ { Y^{C} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ \sigma^2_{C} }\left({\mathbf{ { Y^{C} } }}\right)-0.1}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ \sigma^2_{C}}} }\left({\mathbf{ { Y^{C} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) \]
Règle de décision : Accepter $\mathbf{H}_1$ si p-valeur (gauche) < $5\%$
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{pnorm((var(yC)-0.1)/seVar(yC))} \simeq 29.2\%\nless5\%, $$ on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de $5\%$) que le technicien est compétent.

Option correction SANS p-valeur :

Hypothèses de test : $\mathbf{H}_0:$ $\sigma^2_{C}=0.1$ vs $\mathbf{H}_1:$ $\sigma^2_{C}<0.1$
Statistique de test sous $\mathbf{H}_0$ : \[ \widehat{ \delta_{\sigma^2_{C},0.1} }\left({\mathbf{ { Y^{C} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ \sigma^2_{C} }\left({\mathbf{ { Y^{C} } }}\right)-0.1}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ \sigma^2_{C}}} }\left({\mathbf{ { Y^{C} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) \]
Règle de décision : Accepter $\mathbf{H}_1$ si $\widehat{ \delta_{\sigma^2_{C},0.1} }\left({\mathbf{ { y^{C} } }}\right) < \delta^-_{lim,5\%}$
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$\begin{aligned} \widehat{ \delta_{\sigma^2_{C},0.1} }\left({\mathbf{ { y^{C} } }}\right) &\overset{\mathtt{R}}{=} \mathtt{(var(yC)-0.1)/seVar(yC)}\simeq -0.547535\\&\nless \delta^-_{lim,5\%} \overset{\mathtt{R}}{=} \mathtt{-qnorm(1-.05)}\simeq-1.644854 \end{aligned}$$ on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de $5\%$) que le technicien est compétent.

(2) Le service de contrôle (à qui on a fait comprendre que le risque $\alpha$ est généralement fixé à $5\%$) décide au vu de la p-valeur du précédent test de renvoyer sur le champ le technicien. Ce dernier bien plus au courant des techniques statistiques assigne son employeur aux prud'hommes et gagne le procès haut la main. L'argument avancé par le technicien est le suivant : "Le service de contrôle n'a en aucun cas prouvé que je n'étais pas compétent. Il n'a seulement pas pu prouver au vu des données que j'étais compétent : soit il prouve que je ne suis pas compétent, soit il me soumet à un nombre plus élevé d'échantillons de manière à ce que l'estimation de la variance soit significative.". Essayez de traduire mathématiquement l'argument du technicien.

La conclusion du précédent test n'autorise pas le service de contrôle à penser que le technicien n'est pas compétent. Pour pouvoir montrer ceci il doit effectuer le test suivant : $\mathbf{H_1}: \sigma_C^2>0.1$. Or, $\widehat{ \delta_{\sigma_C^2,0.1} }\left({\mathbf{ { y^C } }}\right)\simeq -0.5474 \ngtr \delta_{lim,5\%}^+\simeq 1.645$. En conclusion, on ne peut vraiment rien dire au vu des données (avec un risque de $5\%$)!

(3) Le service de contrôle décide alors de soumettre deux fois le technicien à $n=500$ mesures sur les échantillons de minerai. Le vecteur des 500 écarts de mesures est encore noté ${\mathbf{ y^C }}$. Avec ces nouvelles observations que concluez-vous au seuil de $5 \%$ ?

R> yC
  [1]  0.3452  0.3619  0.2833 -0.0427  0.0790 -0.5758 -0.7199  0.1819  0.0444
 [10] -0.0195 -0.3482  0.2607 -0.2111 -0.2889 -0.1782  0.0806  0.5698  0.2164
...
[487] -0.1393  0.3292  0.0988 -0.0622 -0.0702  0.1341  0.2778 -0.0795 -0.1076
[496] -0.2658 -0.1247 -0.0267  0.4944 -0.3046
R> var(yC)
[1] 0.08299438
R> # deltaEst.H0 <- (instruction R à fournir dans la rédaction)
R> deltaEst.H0
[1] -3.299399
R> pnorm(deltaEst.H0)
[1] 0.00048446

Affirmation d'intérêt : $\mathbf{H}_1:$ $\sigma^2_{C}<0.1$
Application numérique : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{pnorm((var(yC)-0.1)/seVar(yC))} \simeq 0.05\% < 5\%, $$ on peut (plutôt) penser (avec un risque de $5\%$) que le technicien est compétent.